[Todos CMAT] Actividades de Teoría de números - Reunión inicial VIERNES 5 - hora 16:00

[Gonzalo Tornaria]

Mañana VIERNES 5 de agosto, a las 16:00, haremos una reunión para fijar
horarios de las siguientes actividades:

1. Seminario de grado: "Puntos racionales en curvas elípticas"

2. Curso de posgrado: "Análisis de Fourier en cuerpos de números"

3. Seminario de posgrado: "Representaciones de Galois"


Lugar de reunión: piso 14 del CMat, o por zoom

            https://salavirtual-udelar.zoom.us/j/86107356390

Si alguien está interesado pero no puede estar en la reunión, por favor me
escribe antes indicando en cuáles actividades estaría interesado, y en qué
horarios no podría asistir.

--

En la reunión les puedo contar un poco más de los temas. Adjunto los
programas y más abajo incluyo una introducción breve para cada actividad.

Tratemos de ser puntuales a las 16, tomando en cuenta que a las 17 hay una
reunión para fijar horarios del curso de superficies algebraicas, y hay al
menos 5 personas interesadas en ambos cursos. No descartaría "migrar" todos
a la reunión de Iván y fijar los horarios de ambos cursos en común acuerdo.

Saludos,
Gonzalo

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1. Puntos racionales en curvas elípticas (seminario de grado)

El objetivo de este seminario es introducir el estudio de la aritmética y
la geometría de ciertas ecuaciones diofánticas: las curvas elípticas. Estas
son un objeto central en la teoría de números moderna, y desde ese punto de
vista las abordaremos. Si bien en el estudio de las curvas elípticas surge
naturalmente el uso de algunas herramientas básicas de la geometría
algebraica, no supondremos conocimientos previos sobre el tema e iremos
desarrollando los rudimentos necesarios a lo largo del seminario.

Para quienes hayan cursado teoría de números el pasado semestre, el tema
resultará una continuación natural -- el resultado final será una
demostración del Teorema de Mordell. Pero NO es necesario haber cursado, el
seminario no presupone conocimientos previos de teoría de números ni de
geometría.


2. Análisis de Fourier en cuerpos de números (curso de posgrado)

La función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet juegan un rol
fundamental en la teoría de números. Sus propiedades analíticas codifican
información sobre la distribución de los números primos. A modo de ejemplo,
dos aplicaciones históricas resultarán muy familiares para quienes han
cursado "Teoría analítica de números":

 - la existencia de primos en progresiones aritméticas (Dirichlet, 1837)

 - la distribución asintótica de los números primos (Hadamard y de la
Vallée Poussin, 1896)

Las funciones L de Hecke son una importante generalización a cuerpos de
números (extensiones finitas de Q).  Sus propiedades analíticas codifican
información aritmética sutil, pero las primeras demostraciones (incluso los
enunciados) de estas propiedades resultaban muy complicadas con idas y
vueltas entre álgebra y análisis.

La tesis de Tate (1950) utiliza la dualidad de Pontryagin (generalización
del análisis de Fourier clásico) para presentar una demostración elegante
de la ecuación funcional y la continuación meromorfa de las funciones L de
Hecke. El uso clave del anillo de adeles asociado al cuerpo de números
permite unificar los aspectos algebraicos de la teoría de números con
ciertos argumentos de análisis armónico.

Este abordaje no solamente es más elegante que las demostraciones previas,
sino que resulta un punto de partida natural para muchos resultados en la
teoría de formas automorfas y el programa de Langlands. En este sentido
puede interpretarse la tesis de Tate como

 - el estudio de formas automorfas para el grupo GL(1)
 - el estudio de funciones L "abelianas"

El objetivo principal de este curso es entender la tesis de Tate y sus
aplicaciones, comenzando por los requisitos necesarios de análisis armónico,
estructura de cuerpos de números y sus completaciones, adeles e ideles.

El curso no presupone conocimientos previos de teoría de números: los
requisitos recomendados son conocimientos de medida, grupos, y teoría de
Galois. El libro que seguiremos es bastante autocontenido.



3. Representaciones de Galois (seminario de posgrado)

El propósito del seminario es introducir la teoría de representaciones del
grupo de Galois absoluto de Q, esto es el grupo de automorfismos de una
clausura algebraica de Q. El objetivo deseado es entender este grupo; sin
embargo, es un grupo muy "grande" y difícil de manejar, además que ni
siquiera está bien definido al depender de la elección de una clausura
algebraica de Q.

Una manera de entender un grupo es mediante sus representaciones, es decir
cómo actúa en espacios vectoriales de dimensión finita. En algunos casos
conocer dichas representaciones es suficiente para determinar el grupo y
sus propiedades unívocamente (por ejemplo, en el caso de los grupos
finitos).

En una primera etapa estudiaremos las representaciones de grupos de Galois
de extensiones finitas, llamadas representaciones de Artin, y sus funciones
L.  En una segunda etapa estudiaremos teoría de Galois de extensiones
infinitas, y extenderemos la teoría de representaciones a este caso.
Terminaremos dando ejemplos de representaciones de Galois que proceden de
la geometría, en particular representaciones de Galois asociadas a curvas
elípticas.

Este seminario presupone conocimientos de álgebra del nivel de la
licenciatura (grupos, teoría de Galois, anillos y módulos). No se
presuponen conocimientos previos de representaciones de grupos, aunque
puede resultar una excelente combinación si se realiza en simultáneo con el
curso "Representaciones de grupos finitos".

NOTA: está en trámite la aprobación del seminario para el posgrado; en caso
que alguien esté interesado en validarlo para el grado, conversen conmigo y
podríamos solicitarlo en particular.
------------ próxima parte ------------
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