[Todos CMAT] Actividades de Teoría de números - Reunión inicial VIERNES 5 - hora 16:00

[Gonzalo Tornaria]

Los horarios de las actividades quedaron como sigue:

1. Seminario de grado: "Puntos racionales en curvas elípticas"

-- Lunes de 15:00 a 16:30

2. Curso de posgrado: "Análisis de Fourier en cuerpos de números"

-- Miércoles y Viernes de 11:30 a 13:00 (Teórico)
-- Viernes de 13:30 a 15:30 (Práctico/Consultas/Presentaciones)

3. Seminario de posgrado: "Representaciones de Galois"

-- Lunes de 11:30 a 13:00


Los seminarios comienzan el lunes 15, ese día haremos una charla
introductoria y repartiremos temas y fechas. Si quieren participar y
no pueden venir ese día, por favor me avisan para poder tenerlos en
cuenta.

El curso comienza el miércoles 17.

Saludos,
Gonzalo


On Fri, Aug 5, 2022 at 12:40 AM Gonzalo Tornaria <tornaria en cmat.edu.uy> wrote:
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> Mañana VIERNES 5 de agosto, a las 16:00, haremos una reunión para fijar horarios de las siguientes actividades:
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> 1. Seminario de grado: "Puntos racionales en curvas elípticas"
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> 2. Curso de posgrado: "Análisis de Fourier en cuerpos de números"
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> 3. Seminario de posgrado: "Representaciones de Galois"
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> Lugar de reunión: piso 14 del CMat, o por zoom
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>             https://salavirtual-udelar.zoom.us/j/86107356390
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> Si alguien está interesado pero no puede estar en la reunión, por favor me escribe antes indicando en cuáles actividades estaría interesado, y en qué horarios no podría asistir.
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> En la reunión les puedo contar un poco más de los temas. Adjunto los programas y más abajo incluyo una introducción breve para cada actividad.
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> Tratemos de ser puntuales a las 16, tomando en cuenta que a las 17 hay una reunión para fijar horarios del curso de superficies algebraicas, y hay al menos 5 personas interesadas en ambos cursos. No descartaría "migrar" todos a la reunión de Iván y fijar los horarios de ambos cursos en común acuerdo.
>
> Saludos,
> Gonzalo
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> 1. Puntos racionales en curvas elípticas (seminario de grado)
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> El objetivo de este seminario es introducir el estudio de la aritmética y la geometría de ciertas ecuaciones diofánticas: las curvas elípticas. Estas son un objeto central en la teoría de números moderna, y desde ese punto de vista las abordaremos. Si bien en el estudio de las curvas elípticas surge naturalmente el uso de algunas herramientas básicas de la geometría algebraica, no supondremos conocimientos previos sobre el tema e iremos desarrollando los rudimentos necesarios a lo largo del seminario.
>
> Para quienes hayan cursado teoría de números el pasado semestre, el tema resultará una continuación natural -- el resultado final será una demostración del Teorema de Mordell. Pero NO es necesario haber cursado, el seminario no presupone conocimientos previos de teoría de números ni de geometría.
>
>
> 2. Análisis de Fourier en cuerpos de números (curso de posgrado)
>
> La función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet juegan un rol fundamental en la teoría de números. Sus propiedades analíticas codifican información sobre la distribución de los números primos. A modo de ejemplo, dos aplicaciones históricas resultarán muy familiares para quienes han cursado "Teoría analítica de números":
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>  - la existencia de primos en progresiones aritméticas (Dirichlet, 1837)
>
>  - la distribución asintótica de los números primos (Hadamard y de la Vallée Poussin, 1896)
>
> Las funciones L de Hecke son una importante generalización a cuerpos de números (extensiones finitas de Q).  Sus propiedades analíticas codifican información aritmética sutil, pero las primeras demostraciones (incluso los enunciados) de estas propiedades resultaban muy complicadas con idas y vueltas entre álgebra y análisis.
>
> La tesis de Tate (1950) utiliza la dualidad de Pontryagin (generalización del análisis de Fourier clásico) para presentar una demostración elegante de la ecuación funcional y la continuación meromorfa de las funciones L de Hecke. El uso clave del anillo de adeles asociado al cuerpo de números permite unificar los aspectos algebraicos de la teoría de números con ciertos argumentos de análisis armónico.
>
> Este abordaje no solamente es más elegante que las demostraciones previas, sino que resulta un punto de partida natural para muchos resultados en la teoría de formas automorfas y el programa de Langlands. En este sentido puede interpretarse la tesis de Tate como
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>  - el estudio de formas automorfas para el grupo GL(1)
>  - el estudio de funciones L "abelianas"
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> El objetivo principal de este curso es entender la tesis de Tate y sus aplicaciones, comenzando por los requisitos necesarios de análisis armónico,
> estructura de cuerpos de números y sus completaciones, adeles e ideles.
>
> El curso no presupone conocimientos previos de teoría de números: los requisitos recomendados son conocimientos de medida, grupos, y teoría de
> Galois. El libro que seguiremos es bastante autocontenido.
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>
> 3. Representaciones de Galois (seminario de posgrado)
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> El propósito del seminario es introducir la teoría de representaciones del grupo de Galois absoluto de Q, esto es el grupo de automorfismos de una clausura algebraica de Q. El objetivo deseado es entender este grupo; sin embargo, es un grupo muy "grande" y difícil de manejar, además que ni siquiera está bien definido al depender de la elección de una clausura algebraica de Q.
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> Una manera de entender un grupo es mediante sus representaciones, es decir cómo actúa en espacios vectoriales de dimensión finita. En algunos casos conocer dichas representaciones es suficiente para determinar el grupo y sus propiedades unívocamente (por ejemplo, en el caso de los grupos finitos).
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> En una primera etapa estudiaremos las representaciones de grupos de Galois de extensiones finitas, llamadas representaciones de Artin, y sus funciones L.  En una segunda etapa estudiaremos teoría de Galois de extensiones infinitas, y extenderemos la teoría de representaciones a este caso. Terminaremos dando ejemplos de representaciones de Galois que proceden de la geometría, en particular representaciones de Galois asociadas a curvas elípticas.
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> Este seminario presupone conocimientos de álgebra del nivel de la licenciatura (grupos, teoría de Galois, anillos y módulos). No se presuponen conocimientos previos de representaciones de grupos, aunque puede resultar una excelente combinación si se realiza en simultáneo con el curso "Representaciones de grupos finitos".
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> NOTA: está en trámite la aprobación del seminario para el posgrado; en caso que alguien esté interesado en validarlo para el grado, conversen conmigo y podríamos solicitarlo en particular.
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