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Seminario de Álgebra del IMERL
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Título: "Teoría de Bloques para Grupos Profinitos"

Expositor: Ricardo Franquiz (Universidade Federal de Minas Gerais)

Resumen:
 
La teoría de representaciones modulares de grupos finitos se encarga de entender
la categoría de k[G]-módulos, donde G es un grupo finito y k es un cuerpo de
característica p>0, tal que p divide al orden de G. Una  forma de afrontar este
desafío consiste en descomponer k[G] como un producto directo de álgebras
indescomponibles, conocidas como bloques, y enfocarse en entender la teoría de
representaciones en cada uno de estos bloques. Obsérvese que al p dividir al
orden de G hace que k[G] no sea un álgebra semisimple. Consecuentemente no
existe ninguna razón para suponer que sus bloques serán álgebras semisimples. A
cada bloque podemos hacerle corresponder un p-subgrupo de G llamado grupo de
defecto. Este subgrupo mide la dificultad que posee un bloque para ser una
álgebra semisimple. Cuando el grupo de defecto asociado a un bloque es un grupo
cíclico, es posible codificar la información del bloque en un grafo finito y
describirlo usando la estructura de "álgebra de un árbol de Brauer ". Estas
ideas fueron desarrolladas por Richard Brauer en 1930 usando el enfoque de la
teoría de caracteres de grupos finitos. Posteriormente, en la década de 1960,
Everett C. Dade tradujo las ideas de Brauer para el lenguaje de los módulos.
Recientemente entre los años 2010 y 2011, John MacQuarrie transfirió las ideas
básicas de la teoría de representaciones modulares de grupos finitos para el
contexto de los grupos profinitos. Los grupos profinitos forman una categoría
cuyos objetos usualmente son grupos infinitos. El álgebra de grupo de un grupo
profinito es un álgebra pseudocompacta conocida como álgebra de grupo completa.
Las Álgebras pseudocompactas pueden tener dimensión infinita. Las álgebras de
grupo completas poseen también una descomposición en producto directo de
bloques. Usando los resultados obtenidos por MacQuarrie, guiados por la teoría
de representaciones modulares de grupos finitos, mostraremos en esta charla cómo
asociar un grupo de defecto a un bloque de una álgebra de grupo completa y
describiremos los bloques con grupo de defecto cíclico (esto es, grupos de
defecto que sean p-subgrupos cíclicos finitos o el grupo de los enteros p-ádicos
Z_p) usando la estructura de álgebra de un árbol de Brauer.

Este trabajo fue realizado conjuntamente con John MacQuarrie.
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Viernes 19/11 a las 11:00, A través de Zoom

Contacto: Marco A. Pérez - mperez en fing.edu.uy
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Información de acceso a la sala de Zoom:  Enlace: https://salavirtual-
udelar.zoom.us/j/84292791701?pwd=enhybDUrL0Z5aFZMbVF6L1Vla2VPQT09  ID de
reunión: 842 9279 1701  Código de acceso: FT en 7xU&$$Y
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