[Todos CMAT] Seminario de Funciones Cuasiconformes y teoría de Teichmuller

[Juan Alonso]

Estimados,

Estamos organizando un seminario para este semestre, junto a Sébastien
Alvarez. Va la descripción más abajo.

La reunión inicial será el* lunes 19 de agosto, a las 15:00 en Ingeniería,
Salón 725 (7mo piso), *donde se fijará el horario (una reunión por semana).

Saludos,
Juan

*Descripción del seminario: *Los *homeomorfismos cuasiconformes* juegan un
papel central en la teoría de las superficies de Riemann, es decir, las
superficies con estructura analítica compleja (llamada también *estructura
conforme*). Dichos homeos corresponden a las posibles deformaciones de una
estructura conforme, dando una descripción del *Espacio de Teichmuller *de
una superficie (que puede verse como el conjunto de estructuras conformes
"esencialmente distintas" que soporta una superficie). Este enfoque tiene
aplicaciones importantes a la dinámica compleja y a la topología de
3-variedades.

Un homeo cuasiconforme es solución de una "ecuación diferencial" (en el
sentido de *distribuciones*) llamada *Ecuación de Beltrami, *que depende de
un coeficiente (una función medible acotada). Nos enfocaremos a la
resolución de esta ecuación (Teo. de Ahlfors-Bers), que nos dará existencia
de soluciones en condiciones muy generales, así como ciertos criterios de
unicidad y regularidad respecto al coeficiente. Luego, dependiendo del
tiempo y el interés de los participantes, veremos aplicaciones y temas
relacionados, como pueden ser: Deformación de estructuras conformes y
Teorema de Sullivan para mapas racionales, u  homeos cuasisimétricos,
cuasicírculos y construcción de grupos cuasi-Fuchsianos (*uniformización
simultanea*),


*Temario central: *

*1- Difeomorfismos cuasiconformes: *Introducción a la ecuación de Beltrami
y su significado geométrico. Definición de cuasiconforme en el caso
diferenciable. Necesidad de generalizar a homeos.

*2- Herramientas de análisis funcional: *Introducción breve a
distribuciones, espacios de Sobolev, convoluciones y transformada de
Fourier.

*3- Homeos cuasiconformes: *Definiciones clásicas de mapas K-cuasiconformes
y su equivalencia. Lema de Weyl: un mapa 1-cuasiconforme es holomorfo.

*4- Módulo y equicontinuidad: *Teorema de Grötzcsh sobre la distorsión del
módulo de un anillo por un homeo cuasiconforme. Compacidad del espacio de
mapas K-cuasiconformes.

*5- Teorema de Ahlfors-Bers: *Solución de la ecuación de Beltrami y
regularidad respecto al coeficiente.

*Temas opcionales:*

*6- Homeos Cuasisimétricos: *Caracterización geométrica de los mapas
cuasiconformes. Cuasicírculos. Deformación de grupos Fuchsianos y
construcción de representaciones cuasi-Fuchsianas.

*7- Estructuras conformes y Teorema de Sullivan: *Construcción de la
deformación de una estructura conforme respecto a un coeficiente de
Beltrami. Introducción al Espacio de Teichmuller. Teorema de Sullivan: un
mapa recional no tiene componentes errantes de su conjunto de Fatou.

*Bibliografía principal:*

*J. Hubbard. *Teichmuller theory V1.

*A. Douady. *Le theoreme d'integrabilite des structures presque complexes.
(The Mandelbrot set: Theme and variations, Ed: Tan Lei).

*J. Milnor. *Dynamics in one complex variable.

*E. Stein, R. Shakarchi. *Functional Analysis.

*Bibliografía complementaria:*

*L. Ahlfors. *Lectures on Quasiconformal mappings.

*Y. Imayoshi, M. Taniguchi.* An introduction to Teichmuller spaces.
------------ próxima parte ------------
Se ha borrado un adjunto en formato HTML...
URL: <http://listas.cmat.edu.uy/pipermail/todos/attachments/20190809/10404580/attachment.html>