<div dir="ltr"><div><br></div><div>Estimados,</div><div><br></div><div>Estamos organizando un seminario para este semestre, junto a Sébastien Alvarez. Va la descripción más abajo. <br></div><div><br></div><div>La reunión inicial será el<b> lunes 19 de agosto, a las 15:00 en Ingeniería, Salón 725 (7mo piso), </b>donde se fijará el horario (una reunión por semana).<b> <br></b></div><div><b><br></b></div><div>Saludos,</div><div>Juan<br></div><div><b></b></div><div><b></b><br></div><div><b>Descripción del seminario: </b>Los <i>homeomorfismos cuasiconformes</i> juegan un papel central en la teoría de las superficies de Riemann, es decir, las superficies con estructura analítica compleja (llamada también <i>estructura conforme</i>). Dichos homeos corresponden a las posibles deformaciones de una estructura conforme, dando una descripción del <i>Espacio de Teichmuller </i>de una superficie (que puede verse como el conjunto de estructuras conformes "esencialmente distintas" que soporta una superficie). Este enfoque tiene aplicaciones importantes a la dinámica compleja y a la topología de 3-variedades.</div><div><br></div><div>Un homeo cuasiconforme es solución de una "ecuación diferencial" (en el sentido de <i>distribuciones</i>) llamada <i>Ecuación de Beltrami, </i>que depende de un coeficiente (una función medible acotada). Nos enfocaremos a la resolución de esta ecuación (Teo. de Ahlfors-Bers), que nos dará existencia de soluciones en condiciones muy generales, así como ciertos criterios de unicidad y regularidad respecto al coeficiente. Luego, dependiendo del tiempo y el interés de los participantes, veremos aplicaciones y temas relacionados, como pueden ser: Deformación de estructuras conformes y Teorema de Sullivan para mapas racionales, u  homeos cuasisimétricos, cuasicírculos y construcción de grupos cuasi-Fuchsianos (<i>uniformización simultanea</i>),<br></div><div> <b> </b><br></div><div><b>Temario central: <br></b></div><div><b><br></b></div><div><b>1- Difeomorfismos cuasiconformes: </b>Introducción a la ecuación de Beltrami y su significado geométrico. Definición de cuasiconforme en el caso diferenciable. Necesidad de generalizar a homeos.<br><b></b></div><div><b><br></b></div><div><b>2- Herramientas de análisis funcional: </b>Introducción breve a distribuciones, espacios de Sobolev, convoluciones y transformada de Fourier. <br></div><div><br></div><div><b>3- Homeos cuasiconformes: </b>Definiciones clásicas de mapas K-cuasiconformes y su equivalencia. Lema de Weyl: un mapa 1-cuasiconforme es holomorfo. <br></div><div><b><br></b></div><div><b>4- Módulo y equicontinuidad: </b>Teorema de Grötzcsh sobre la distorsión del módulo de un anillo por un homeo cuasiconforme. Compacidad del espacio de mapas K-cuasiconformes.</div><div><br></div><div><b>5- Teorema de Ahlfors-Bers: </b>Solución de la ecuación de Beltrami y regularidad respecto al coeficiente.<br></div><div><br></div><div><b>Temas opcionales:</b></div><div><b><br></b></div><div><b>6- Homeos Cuasisimétricos: </b>Caracterización geométrica de los mapas cuasiconformes. Cuasicírculos. Deformación de grupos Fuchsianos y construcción de representaciones cuasi-Fuchsianas.<br></div><div><br></div><div><b>7- Estructuras conformes y Teorema de Sullivan: </b>Construcción de la deformación de una estructura conforme respecto a un coeficiente de Beltrami. Introducción al Espacio de Teichmuller. Teorema de Sullivan: un mapa recional no tiene componentes errantes de su conjunto de Fatou.<br></div><div><br></div><div><b>Bibliografía principal:</b></div><div><b><br></b></div><div><b>J. Hubbard. </b>Teichmuller theory V1.</div><div><br></div><div><b>A. Douady. </b>Le theoreme d'integrabilite des structures presque complexes. (The Mandelbrot set: Theme and variations, Ed: Tan Lei).</div><div><br></div><div><b>J. Milnor. </b>Dynamics in one complex variable.</div><div><br></div><div><b>E. Stein, R. Shakarchi. </b>Functional Analysis.<br></div><div><br></div><div><b>Bibliografía complementaria:</b></div><div><b><br></b></div><div><b>L. Ahlfors. </b>Lectures on Quasiconformal mappings.</div><div><br></div><div><b>Y. Imayoshi, M. Taniguchi.</b> An introduction to Teichmuller spaces.<br></div></div>