[Todos CMAT] Coloquio informal de estudiantes - Alvaro Rittatore (Cmat)

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Coloquio informal de estudiantes
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Título: "Acciones de grupos y grupos de automorfismos"

Expositor: Alvaro Rittatore (Cmat)

Resumen:
 
Dado un conjunto X, y una biyección $f:X\to X$, podemos usar f para "mover los
puntos de X", mandando $x\in X$ a $f(x)$. Tenemos de este modo una "acción" del
grupo de biyecciones Biy(X) en X --- el producto en Biy(X) es la composición. La
definición de acción de un grupo arbitrario G en X (que se ve en los cursos de
la licenciatura) puede verse como una generalización de esta idea. Más aún, dar
una acción de G en X se corresponde con dar un morfismo de grupos $a:G\to
Biy(X)$. Esto es bastante fácil de ver, y la charla empezará
explicándolo/recordándolo.

Cuando X tiene estructura adicional (es un espacio topológico, una variedad
diferenciable, una variedad algebraica, ...), la idea del párrafo anterior se
topa con una obstrucción de peso, si queremos que nuestras definiciones sigan
teniendo sentido en la categoría en la que estamos trabajando: para empezar,
tenemos que sustituir Biy(X) por el grupo correspondiente (de los
homeomorfismos, de los difeomorfismos, de los isomorfismo de variedades
algebraicas, ...).; esto no es un problema en sí pero... ?qué nos garantiza que
el grupo con el que trabajamos tiene la estructura adicional que queremos?
(grupo topológico, de Lie, algebraico, ...), Supongamos (erróneamente) que sí
tenemos la estructura buscada; aparece una nueva obstrucción: tenemos que ver
que efectivamente las acciones de nuestro grupos arbitrarios (ahora topológicos,
de Lie, algebraicos, ...) se corresponden con los morfismos de grupos (con la
estructura correspondiente) hacia los grupos de isomorfismos que consideramos.

En la parte principal de esta charla me concentraré entonces en comentar cómo
intentar levantar estas restricciones. Digo intentar y antes dije erróneamente,
porque no siempre se puede.... Dedicaré un poco de tiempo al caso "grupos
topológicos" y bastante más al "caso algebraico", en donde aparece una idea
interesante de cómo poner una topología en el "conjunto de los automorfismos de
una variedad algebraica".
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Lunes 7/11 a las 15:00, Salon de seminarios piso 14, CMAT.

Contacto: Alejandro Bellati - abellati en cmat.edu.uy
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