[Todos CMAT] Seminario de Álgebra y temas afines

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Lunes 13/5 a las 13:30, Salón de seminarios del piso 14, CMAT

Seminario de Álgebra y temas afines

Expositor: Prof. Dr. Armando Treibich, CURE

Título: Revestimientos dobles de superficies racionales

Resumen: En el espacio de funciones f(c,x) soluciones de la ecuación [(d/dx)² + u(x) - c] f = 0, donde c es una constante compleja y u(x) una función periódica (digamos de período 1), el operador de monodromía T: f(c,x) --> f(c,x+1) actúa linealmente. Se dice entonces que el  operador de Schrödinger (d/dx)² + u(x) es finite-gap sii existe sólo un número finito de valores c tales que el operador T tiene un valor propio doble. En tal caso se puede decir que, excepto para un número finito de complejos c, tenemos dos rectas propias (del operador T). Basta esto para definir un revestimiento doble de la recta proyectiva, o dicho de otro modo, una curva hiperelíptica, ramificada en todos los valores c  donde hay un único valor propio. Recíprocamente, partiendo de tal curva se puede recuperar la función f(c,x) y el "potencial" de Schrödinger u(x), ambos en términos de la función theta de la variedad jacobiana de la curva. En caso que la función u(x) sea doblemente periódica, tal curva es un revestimiento (de grado arbitrario n) de la curva elíptica correspondiente al retículo de la recta compleja definida por el par  de períodos de u(x). Es más, estos revestimientos se obtienen como divisores de una superficie algebraica, revestimiento doble de otra que es racional.  Los potenciales correspondientes son sumas de n trasladados de la función de Weierstrass. Entre estos potenciales, aquellos que son funciones pares corresponden a los medio-períodos de la jacobiana de la curva hiperelíptica. Su caracterización explícita es un problema que está aún por resolver.

Como siempre, están todos invitados a tomar un café antes de la charla

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