[Todos CMAT] Curso de grado y posgrado: Movimiento Browniano y Teoría del Potencial en el Plano
Pablo Lessa
lessa en cmat.edu.uy
Mar Feb 20 20:38:48 -03 2018
Hola a todos,
Este semestre voy a dar un curso sobre movimiento Browniano y teoría del
potencial en el plano.
El curso está dirigido a estudiantes avanzados de la licenciatura en
matemática y a estudiantes de posgrado en matemática.
Los pre-requisitos son Análisis real y Análisis complejo.
El curso comenzará la semana del 19 de Marzo. Le pido a los interesados
que por favor me escriban con sus preferencias/restricciones de horarios.
Más adelante habrá una reunión para definir los horarios formalmente.
Más abajo doy algunos detalles más sobre el contenido del curso. Si alguno
tiene dudas sobre eso o quiere discutir en persona que me contacte por
email.
Saludos,
Pablo Lessa
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La idea es explorar algunas de las relaciones que existen entre funciones
armónicas y holomorfas, métricas conformes hiperbólicas, movimiento
browniano, y capacidad logarítmica en el plano.
Algunas referencias para el curso pueden ser los libros (el segundo está en
la página web de los autores en alguna versión, y el primero es fácilmente
pirateable via "library genesis"... según me han dicho)
- "Harmonic Measure" de John Garnett y
- "Brownian Motion" de Peter Mörters y Yuval Peres.
El temario exacto va depender del público pero puede incluir por el lado
geométrico/analítico:
- Discusión de la demostración original del teorema del mapa de Riemann
via el principio de Dirichlet
- Funciones armónicas en el plano, regularidad, relación con las
funciones holomorfas, singularidades evitables.
- Problema de Dirichlet en el disco y en subvariedades con borde del
plano.
- Funciones de Green de subvariedades con borde en el plano. Teorema
del mapa de Riemann y extension continua al borde para ciertos dominios de
Jordan.
- Cubrimientos holomorfos, cubrimiento universal, teorema de
uniformización para dominios del plano.
- Capacidad logarítmica y singularidades evitables.
y por el lado probabilístico/analítico
- Construcción del movimiento Browniano en el plano.
- Regularidad típica de las trayectorias.
- Tiempos de parada, y teorema de convergencia de martinagalas acotadas.
- Invariancia conforme (Teorema de Levy).
- Teorema de Kakutani sobre intersección del movimiento Browniano con
conjuntos no polares.
- Médida armónica y balayage. Relación con la extensión al borde del
mapa de Riemann de dominios de Jordan.
------------ próxima parte ------------
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