[Todos CMAT] Seminario: Topología Sin Puntos

[Ignacio Lopez Franco]

Este semestre haremos un seminario para estudiantes, llamado
**Topología sin puntos.**

La teoría que estudiaremos en el seminario contiene la de espacios
topológicos, pero tiene un mejor comportamiento, y nos forzará a hacer
razonamientos que son fácilmente generalizables a otras situaciones. Una
vez finalizado el seminario, uno puede continuar esta linea de estudios
hacia diversas áreas de la matemática (como ser Geometría Algebraica,
Lógica, Análisis Funcional). Los requisitos previos son el haber cursado
*Topología* de la Licenciatura en Matemática.

Horario: lunes 15:00 - 16:30 en el CMAT.

Habrá una charla introductoria el Lunes 13 de marzo en el horario de
arriba. Por cualquier consulta no duden en contactarme.

Ignacio Lopez Franco
Email: ilopez en cure.edu.uy

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El seminario propone estudiar la cercana relación entre topología y
estructuras ordenadas (posets, reticulados, etc.). Veremos resultados como
la dualidad entre álgebras de Bool y espacios de Stone, dualidad entre
reticulados distributivos y espacios coherentes. A Través del seminario
estará presente el problema de hasta qué punto el reticulado de abiertos de
un espacio topológico X determina X.

Las técnicas que usaremos son suficientemente generales como brindar al
estudiante las herramientas para el estudio más profundo de varias ramas de
la matemática (topología, geometría algebraica, análisis funcional, lógica).


TEMAS

Posets. Semireticulados y reticulados. Reticulados distributivos.
complemento de un elemento. Álgebras de Heyting. Elementos regulares.

Ideales y filtros. Existencia de ideales maximales disjuntos de un filtro.
Idelas primos.

Categorías, functores, transformaciones naturales. Ejemplos. Adjunciones.
Posets como categorías y adjunciones en ellos. Reflexiones, equivalencias.
Teorema de functor adjunto para reticulados completos.

Marcos y locales. Adjunción entre la categorías de locales y de espacios
topológicos. Locales espaciales. Espacios sobrios. Ejemplos. Espacios
Hausdorff y pt(A) son sobrio.

Núcleos. Núcleos inducidos por adjunciones, y vice versa. Biyección entre
núcleos y sublocales (monomorfismos regulares). Sublocales. Ejemplos.
Sublocales densos. Existencia del menor sublocal denso.

Cubrimientos, marcos generados por cubrimientos, C-ideales. Adjunto a
izquierda de Frm->DLat. Elementos finitos. Caracterización de locales
coherentes. Caracterización de los puntos de Idl(B). Los locales coherentes
son espaciales. DLat dual de CohSp.

Espacios de Stone. Caracterización. Spectro de reticulados distributivos es
Hausdorff sii es un algebra de Bool. Dualidad entre álgebras de Bool y
espacios de Stone.

Haces sobre espacios y locales. Haces y cubrimientos. Imagen directa e
inversa. Secciones globales. Propiedades de anillos internos en Sh(A); eg,
localidad. Interpretación como propiedad local. Espectro de Zariski de un
local.

Haz canónico sobre spec(A). Propiedad universal de spec(A).

Reticulados continuos. Topología de Scott; base. Espacios topológicos
exponenciables. Teorema de Day-Kelly (caracterización de espacios
exponenciales como aquellos cuyo frame de abiertos es continuo).

BIBLIOGRAFÍA

Seguiremos el libro:

Johnstone, Peter T
<http://www.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=95285>. Stone
spaces. Reprint of the 1982 edition. Cambridge Studies in Advanced
Mathematics, 3. <http://www.ams.org/mathscinet/search/series.html?id=1596>
Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xxii+370 pp. ISBN:
0-521-33779-8.

Johnstone, Peter T.
<http://www.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=95285> Stone
spaces. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 3.
<http://www.ams.org/mathscinet/search/series.html?id=1596> Cambridge
University Press, Cambridge, 1982. xxi+370 pp. ISBN: 0-521-23893-5.

Para un overview del tema:

Johnstone, Peter T.
<http://www.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=95285> The point
of pointless topology. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)
<http://www.ams.org/mathscinet/search/journaldoc.html?journalName=Bull.%20Amer.%20Math.%20Soc.%20%28N.S.%29>
8 (1983), no. 1, 41–53. (Disponible en
http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183550014).

Isbell, John. Book Review: Stone spaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)
<http://www.ams.org/mathscinet/search/journaldoc.html?id=3001> 11 (1984),
no. 2,
<http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg1=ISSI&s1=13116&sort=oldest>
389–392. (Disponible en http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552185).

Requisitos previos

El único requisito es el haber cursado Topología de la Licenciatura en
Matemática.
------------ próxima parte ------------
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