[Todos CMAT] Seminario de álgebra del IMERL

[Ana Gonzalez]

Este viernes a las 11:15 habla Gustavo Rama sobre:

Módulo de Brandt Generalizado

Es sabido que dada una forma cuadrática ternaria, se puede construir  
un módulo libre asociado a ella, llamado módulo de Brandt, resultando  
de su descomposición en espacios propios, en ciertas formas modulares.  
Cuando los espacios propios son racionales, estas formas están  
asociadas a curvas elípticas.

Es esta una construcción clásica que tiene ciertas restricciones a la  
que no es posible asociarle todas las curvas elípticas. Por ejemplo,  
las curvas con signo negativo en su ecuación funcional no aparecen en  
dicha construcción.

La construcción consiste en generar un grafo a partir de un número  
primo $p$ y un nivel. Los vértices de este grafo serán las clases de  
equivalencia de formas cuadráticas ternarias integrales, y sus aristas  
estarán definidas por la relación de $p$-vecindad, donde dos formas  
cuadráticas $Q$ y $Q'$ son $p$-vecinas si $Q(x,y,pz) = Q'(px,y,z)$.  
Una vez construido el grafo, los vectores propios racionales de la  
matriz asociada a él se usarán para construir las formas modulares  
utilizando series theta.

En su tesis doctoral, Tornaría presenta un refinamiento, utilizando la  
norma spin, en la construcción del módulo asociado a las formas  
cuadráticas ternarias, eliminando algunas de las restricciones  
referidas anteriormente, lo que permite calcular formas modulares  
asociadas a otras curvas elípticas.

Este refinamiento presenta un método potencial para verificar la tabla  
de curvas elípticas de la lista de Cremona. Cremona utiliza símbolos  
modulares, y las matrices asociadas a los módulos de Brandt son más  
esparsas que las subyacentes al método de Cremona, por lo que es  
esperable que sea más rápido hallar los espacios propios de ellas,  
constituyendo un método así también más rápido.

Otra característica importante es que este método nos da información  
adicional al de las curvas elípticas: el calculo de coeficientes de  
Fourier de  formas modulares de peso $3/2$.

Los métodos presentados fueron implementados en el sistema software  
matemático Sage, y se pueden encontrar en las últimas versiones del  
mismo.


Están todos invitados a participar.
saludos
Ana