<div dir="ltr"><div dir="ltr">Hola, </div><div dir="ltr"><br></div><div dir="ltr">Hoy a las 14.30 escucharemos a Braulio, que se está yendo mañana luego de pasar un año aquí. Abajo título y resumen.</div><div dir="ltr"><br></div><div dir="ltr">sds<br clear="all"><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><div class="gmail-gs" style="margin:0px;padding:0px 0px 20px;width:657.40625px;color:rgb(0,0,0);font-family:Roboto,RobotoDraft,Helvetica,Arial,sans-serif"><div class="gmail-"><div id="gmail-:h5" class="gmail-ii gmail-gt" style="margin:8px 0px 0px;padding:0px"><div id="gmail-:h6" class="gmail-a3s gmail-aXjCH"><div class="gmail_quote"><div dir="ltr"><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">Topological and rotational aspects of homoclinic bifurcation in the annulus</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><br></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">In this talk, we will discuss some aspects of the dynamics of annulus homeomorphisms  <span style="color:rgb(0,128,0)">$f:\mathbb{A}\rightarrow\mathbb{A}$</span></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"> which has an attracting closed annular region <span style="color:rgb(0,128,0)">$A\subset \mathbb{A}$</span></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"> (i.e. <span style="color:rgb(0,128,0)">$A$</span> is homeomorphic to <span style="color:rgb(0,128,0)">$\mathbb{S}^1\times[-1,1]$</span> and <span style="color:rgb(0,128,0)">$f(A)\subset \textrm{Int}(A)$</span>). In this situation, an <span style="color:rgb(0,128,0)">$f$</span>-invariant set <span style="color:rgb(0,128,0)">$$\mathcal{A}_f=\bigcap_{n\geq 0}f^n(A)$$</span> exist and is an essential annular continuum</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"> (a compact connected set that separates the annulus into</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">exactly two components <span style="color:rgb(0,128,0)">$U^{\pm}(\mathcal{A}_f)$</span>). </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><br></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">The topology of such continua can be very intricate (for instance, they can be ``hairy", indecomposable, or even hereditarily indecomposable).</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><br></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">Let <span style="color:rgb(0,128,0)">$\rho(f,\mathcal{A}_f)$</span> be the rotation set in <span style="color:rgb(0,128,0)">$\mathcal{A}_f$</span>.</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">By a theorem of Poincaré on circle homeomorphisms, </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">if the attractor <span style="color:rgb(0,128,0)">$\mathcal{A}_f$</span> is homeomorphic to <span style="color:rgb(0,128,0)">$\mathbb{S}^1$</span>,</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"> then <span style="color:rgb(0,128,0)">$\rho(f,\mathcal{A}_f)$</span> is a singleton. </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><br></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">On the other hand, Barge and Gillette [92] prove that any attracting circloid <span style="color:rgb(0,128,0)">$\mathcal{A}_f$</span>  (i.e. it contains no proper essential annular subcontinua) with empty interior and rotation set non-degenerate must be indecomposable. </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">Concrete examples are the Birkhoff attractors for certain class of dissipative twist maps in the annulus (Le Calvez [90]). </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><br></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">From some recent works, it is known that if the attractor is a circloid and <span style="color:rgb(0,128,0)">$\rho(f,\mathcal{A}_f)$</span> is a</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">non trivial rotation interval, then the dynamic has complexity; </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">for instance there are infinitely many periodic points of arbitrarily large periods, </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">uncountably many ergodic measures and positive topological entropy. </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><br></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><br></pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">We will present the results concerning the change of the attractor and the rotation set </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px"><span style="color:rgb(0,128,0)">$\rho(f,\mathcal{A}_f)$</span> in terms of <span style="color:rgb(0,128,0)">$C^r$</span>-perturbations of <span style="color:rgb(0,128,0)">$f$</span>,</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">for <span style="color:rgb(0,128,0)">$r\geq0$</span>, whose <span style="color:rgb(0,128,0)">$f$</span> belongs to a class of diffeomorphisms on the annulus with a homoclinic tangency associated to a dissipative hyperbolic fixed point <span style="color:rgb(0,128,0)">$P$</span> whose an unstable manifold is dense in <span style="color:rgb(0,128,0)">$\mathcal{A}_f$</span>.</pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">In addition, we will discuss the continuity of the prime end rotation numbers <span style="color:rgb(0,128,0)">$\rho^{\pm}(\mathcal{A}_f)$</span>, </pre><pre style="margin-top:0px;margin-bottom:0px">associated to their complementary regions <span style="color:rgb(0,128,0)">$U^{\pm}(\mathcal{A}_f)$</span>, restricted to a family.</pre></div><div class="gmail-yj6qo"></div><div class="gmail-adL"></div></div><div class="gmail-adL"></div></div></div><div class="gmail-hi"></div></div></div></div>-- <br><div dir="ltr" class="gmail_signature">Rafael Potrie<br><a href="mailto:rafaelpotrie@gmail.com" target="_blank">rafaelpotrie@gmail.com</a><br><a href="http://www.cmat.edu.uy/~rpotrie/" target="_blank">http://www.cmat.edu.uy/~rpotrie/</a></div></div></div>