[Todos CMAT] Seminario de Sistemas Dinámicos - Juliana Xavier (IMERL)

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Seminario de Sistemas Dinámicos
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Título: "La tasa de crecimiento de órbitas periódicas para mapas de Thurston con orbifolds no hiperbólicos"

Expositor: Juliana Xavier (IMERL)

Resumen:
 
Sea $f: S^2 \to S^2$ una función contínua de grado $d$, $|d|>1$, y sea $N_nf$ el
número de puntos fijos de  $f^n$. Mostramos que si $f$ es un mapa de  Thurston
con orbifold no hiperbólico, entonces o bien la desigualdad $\limsup \frac{1}{n}
\log N_nf\geq \log |d|$ vale para $f$ o sino $f$ tiene exactamente dos puntos
críticos totalmente invariantes.

Un mapa de Thurston es simplemente un cubrimiento ramificado de la esfera tal
que el conjunto poscrítico es finito (el conjunto poscrítico son todos los
iterados futuros de los puntos críticos).  Si $f$ tiene exactamente dos puntos
críticos totalmente invariantes (el poscrítico son solo dos puntos), es fácil
ver que la desigualdad no se cumple porque se pueden hacer ejemplos sin otros
puntos periódicos (tipo un norte sur con grado d). Lo que probamos entonces es
que para mapas de Thurston con orbifold no hiperbólico, esta es la única
obstrucción para que se verifique la desigualdad, y además la obstrucción es
topológica: el complemento del conjunto poscrítico de $f$ es un anillo.

Tener orbifold no hiperbólico se corresponde con algunas combinatorias muy
especiales del conjunto poscrítico que voy a explicar, y además voy a mostrar
por qué si el poscrítico de estos mapas tiene por lo menos tres puntos, entonces
hay crecimiento exponencial de órbitas periódicas.

A modo anecdótico pero no voy a hablar de esto en la charla: cuando el orbifold
es hiperbólico (que es casi siempre) no sabemos lo que hacer, solo tenemos un
teorema para cuando el mapa es "tipo un polinomio" y tiene un conjunto K
totalmente invariante ("tipo un Julia")  localmente conexo.
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Viernes 10/6 a las 14:30, Salón de seminarios del IMERL

Contacto: León Carvajales - lcarvajales en cmat.edu.uy
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Sergi Burniol (IMJ-PRG)
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