[Todos CMAT] Miércoles 22 - 10h am - Tesis de grado de Agustín Castro

[Ezequiel Maderna]

Estimados colegas y estudiantes,

espero estén pasando un buen domingo; les escribo porque este miércoles a
las 10 de la mañana realizaremos (via zoom) el examen del trabajo
monográfico de Agustín Castro (adjunto), requerido para la obtención del
título de Licenciado en Matemática de la UdelaR. La mesa de examen la
integran los profesores José R. León, Miguel Paternain, Alfonso Sorrentino
y quien suscribe.

Deseamos invitarlos a todos, las coordenadas para asistir son las
siguientes:

Tema: Zoom meeting invitation - Tesis de Agustín Castro
Hora: 22 sept. 2021 10:00 a. m. Montevideo
Unirse a la reunión Zoom
https://salavirtual-udelar.zoom.us/j/87967929320



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RESUMEN:

En esta tésis se estudian las soluciones globales de viscosidad de la
ecuación de evolución de Hamilton-Jacobi en variedades completas (no
necesariamente compactas). Se ven resultados de existencia y unicidad
de soluciones a partir de sus condiciones iniciales,  y algunas
propiedades acerca de los puntos de diferenciabilidad de esta clase de
soluciones. Estas propiedades nos permitirán obtener conclusiones
topológicas acerca de las singularidades.

La existencia de las soluciones globales surgirá a partir del
semigrupo negativo de Lax-Oleinik, el cual nos brindará un mecanismo
para evolucionar en el tiempo a las condiciones iniciales de modo que
su evolución sea efectivamente una solución de viscosidad.

En una primera instancia, se prueba el principio del máximo, el cual
permite obtener una versión local de la unicidad de las soluciones de
viscosidad. Esta noción local se extiende a una noción global de
unicidad luego de observar que la acción de una curva está siempre
acotada inferiormente por la variación de las soluciones en los
extremos, y probando que en cada punto existe una curva que culmina en
él y su acción realiza esta cota. Estos resultados requieren entender
y caracterizar las soluciones de forma local con un operador similar
al de Lax-Oleinik, y ver algunos teoremas de aproximación que nos
permitan ganar regularidad bajo pequeños cambios en una solución de
viscosidad.

Finalmente,  dada una solución de viscosidad, se caracterizan sus
puntos de diferenciabilidad en términos de las curvas calibrantes
admitidas por dicha solución. Esto es usado en última instancia para
deducir que la inclusión de las singularidades de la función distancia
en el complemento del Aubry es una equivalencia de homotopía. Para
llegar a esta conclusión, se estudian las evoluciones de Lax-Oleinik
de indicatrices modificadas de conjuntos cerrados bajo el lagrangiano
que define la energía cinética.


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Saludos,

Ezequiel Maderna

----*DtDq.L-DqL=0*-----
Dr. Ezequiel C. Maderna
Profesor Agregado
IMERL - Instituto de Matemática y Estadística "Rafael Laguardia"
Facultad de Ingeniería - Universidad de la República
Av. Herrera y Reissig 565, 11300 Montevideo, Uruguay
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