[Todos CMAT] Curso avanzado de Lic: "Geometría Riemanniana"

[Martin Reiris - CMAT]

Hola, todos,

este semestre voy a dictar el curso avanzado de Licenciatura, "*Geometría
Riemanniana". *El objetivo es brindar una introducción a la comparación
geométrica y sus aplicaciones. Se presentan los teoremas clásicos desde
1950 en adelante, Meyers, Topogonov, Bishop-Gromov, etc. Geodésicas y
Campos de Jacobi se estudiarán en detalle. La pruebas de los resultados
usan simples técnicas de comparación de soluciones de EDOs sobre la
trayectoria de las geodésicas. Desde este punto de vista, conocimientos
básicos de ecuaciones diferenciales y cálculo III son suficientes.

Se usará (partes de) el libro "Comparison theorems in Riemannian Geometry",
Cheeger-Ebin.

Teórico: Lunes y miércoles de 16:30 a 18 hrs
Práctico: Miércoles de 15 a 16:30 hrs.

Debajo el detalle del temario.

*TEMARIO.*
1. *Introducción*.

¿Cómo se comparan geometrías? Introducción a la comparación de distancias,
ángulos y volúmenes con condiciones en la curvatura. *Ejemplo*: Comparación
de triángulos en Geometría de superficies de curvatura constante (esfera,
plano, plano hiperbólico). Enunciado de Gauss-Bonett y comparación de
ángulos. Enunciado de los teoremas de comparación de Topologonov (para
triángulos geodésicos) y Bishop-Gromov (para volumen).

3.* Elementos de geometría Riemanniana*.

Métricas Riemannianas.
Ángulos, longitudes, distancias y volúmenes.
Geodésicas.
Campos de Jacobi y curvatura seccional (y su significado).
Cut-locus y geodésicas que minimizan distancia.

4. *Comparación de distancias*.

Teorema de comparación de Myers (para el diámetro en función de la
curvatura).
Teoremas de comparacin de Rauch (para campos de Jacobi).

5. *Comparación de volumen*.

Campos de Jacobi y comparación de densidades de volumen.
Volumen de bolas geodésicas y su comparación.
Diámetro máximo y rigidez en el teorema de comparación de Myers.
Discusión (sin prueba) de aplicaciones al grupo fundamental a través del
crecimiento del volumen de bolas geodésicas.

6. *Comparación de triángulos*.

Triángulos geodésicos y 'hinges''.
Enunciado y discusión del Teorema de Topogonov.
Discusión de aplicaciones, en particular al teorema de la esfera.


Saludos!

Martín Reiris.

-- 
Prof. Agr. de Matemática, FCien - UR.
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