[Todos CMAT] Seminario de Dinámica Hamiltoniana

[Alejandro Passeggi]

Estimadxs,

Estamos organizando para este semestre un seminario de Dinámica
Hamiltoniana. El enfoque del mismo será basarse en ejemplos que vayan
acompañando el formalismo simpléctico, discutiendo la importante noción de
integrabilidad (y no-integrabilidad) en dim finita e infinita. Los temas
que intentaremos abordar están listados al final del correo.

La reunión inicial para determinar horario, etc, será el miércoles  21 de
agosto en el CMAT por las 13:30.

*Temas: *

1- Introducción al formalismo: en el fondo la dinámica Hamiltoniana son
ecuaciones diferenciales que vienen de ecuaciones Newtonianas para fuerzas
gradientes, y por lo tanto preservan la energía mecánica. Pero más que eso,
se pueden describir a partir del gradiente de la energía mecánica: no es el
campo gradiente, porque de ser así esta cantidad no sería preservada en el
tiempo, el campo en cuestión es lo que se conoce como el gradiente
simpléctico: se elige un de los vectores
"perpendiclualres" al gradiente, y así preservamos las curvas de nivel de
la EM. Bueno, para estas elecciones se introduce una conjunto de
formalidades, que cobra vida por y deriva en lo que se conoce como
geometría simpléctica. La idea es introducir esto basándose en ejemplos
(oscilado armónico, péndulo, Kepler, muchos cuerpos, cuerpo rígido, etc...).

2- Integrabilidad: Después de "resolver" el problema de Kepler: una masa
grande y una chica bajo la ley de gravitación, se adoptó la idea de que era
fundamental encontrar cantidades conservadas para resolver las ecuaciones
Hamiltonianas.* Se intuía que a partir de las mismas se pueden hacer
cambios de coordenadas que simplifiquen la ecuación y luego se pueda
resolver. *Esta intuición resultó cierta y hoy se conoce como el teorema de
Arnold-Liuville: si hay suficientes cantidades conservadas, se puede hacer
un cambio de variable y lograr que la ecuación diferencial en cuestión tome
una forma muy simple. Este resultado está en la base de la matemática
moderna. "Integrabilidad" es tener suficientes cantidades conservadas para
aplicar A-L.

3- Alguna disgreción sobre integrabilidad: mientras cantidades conservadas
son funciones del espacio de fase a R, que se preservan por el flujo, un
reflejo de las mismas son el grupo de las simetrías del Hamiltoniano,
reflejo representado en el teorema célebre de Emmy Nöther. En este punto se
da una fuerte interacción entre ecuaciones Hamiltonianas, grupos y álgebra
de Lie, álgebra de Poisson, y otras cuestiones fundamentales.

4- Flujo geodésico del elipsoide: de los ejemplos Hamiltonianos que
resultan integrables, como ser péndulo, Kepler, cuerpo rígido en algunos
casos, algunos muestran dificultad notablemente superior ya que las
cantidades en cuestión no aparecen intuitivamente. Un claro ejemplo es el
flujo geodésico del elipsoide en Rn, que llevo tiempo vichando y no logro
comprender. Esperemos aproximarnos.

5- Integrabilidad en EDPS: todos saben que edp es un área principal de la
matemática. La idea de resolución por integrabilidad que acabamos de
comentar para edo tiene su análogo en dimensión infinita, y resulta muy
potente para resolver algunas ecuaciones de relevancia física como KdV o la
Sine-Gordon. Además, el concepto de integrabilidad es clave en física
cuántica por lo que el salto conceptual a dimensión infinita es
fundamental.


Saludos.
------------ próxima parte ------------
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