[Todos CMAT] Curso de Álgebras de Lie

[andres abella]

Hola,

este semestre voy a estar dando un curso avanzado de la licenciatura en
Álgebras de Lie.

El horario del curso (fijado por la CCD) es

martes de 16:30 a 18:00 (teórico),
jueves de 15:00 a 16:30 (práctico) de 16:30 a 18:00 (teórico).

A continuación les paso una breve introducción a los orígenes del tema y
una idea de cómo va a ser el curso y de sus prerrequisitos. También va como
adjunto el programa.

El origen de las álgebras de Lie radica en el trabajo de Sophus Lie (1842 -
1899) en el estudio de las acciones locales de ciertos grupos en
variedades. Lie observó que las acciones de estos grupos (llamados
ahora *grupos
de Lie*) se podían entender mejor si se miraba primero la acción inducida a
nivel del espacio tangente al grupo en la identidad. Este espacio tiene un
producto (proveniente de la estructura de grupo) y este tipo de estructura
es la que nos interesa. Un *álgebra de Lie *es un espacio vectorial que
tiene un producto con ciertas propiedades, en particular es anticonmutativo
y no es asociativo, pero verifica otra propiedad llamada la *condición de
Jacobi*.

Si bien las álgebras de Lie son fundamentales para el estudio de los grupos
de Lie, con el tiempo la teoría se ha ido desarrollando en sí misma y se
aplica en varias áreas de matemática (álgebra, geometría algebraica,
geometría diferencial, topología, teoría de representaciones, etc) y en
física. Por ejemplo, el conjunto de las derivaciones de un anillo tiene
estructura de álgebra de Lie, y esa estructura no proviene de un grupo de
Lie.

El objetivo del curso es dar una introducción al tema, llegando a algunos
resultados básicos de la teoría (teoremas de Engel, Lie, Weyl) y estudiar
algunos ejemplos importantes, en particular el álgebra especial lineal
sl(n,K).

Lo que buscamos es, por un lado dar una buena base teórica, y por el otro
saber aplicar en algún caso concreto los conocimientos anteriores.

A pesar de lo dicho al principio, nuestro enfoque será completamente
algebraico y no será necesario tener conocimientos de geometría
diferencial. Formalmente los únicos prerrequisitos son de álgebra lineal:
espacio dual, diagonalización, forma de Jordan, formas bilineales y
espacios con producto interno. Sin embargo el curso también requiere que el
alumno tenga familiaridad con ciertos tipos de construcciones algebraicas,
como ser cocientes y sus teoremas de isomorfismo, propiedades universales,
etc. Para esto último alcanza con haber aprobado algún curso de álgebra,
como ser Anillos y Módulos o Grupos y Teoría de Galois. También, con un
poco de esfuerzo, es accesible para estudiantes avanzados de física teórica
que por sus estudios hayan tenido que familiarizarse con este tipo de
construcciones.

El curso va a contar con unas notas en las que se resumen las definiciones
y teoremas (sin demostraciones) del curso.

La bibliografía base es el libro “Introduction to Lie algebras and
Representation Theory” de J. E. Humphreys, Springer-Verlag.

Por cualquier aclaración o pregunta no duden en escribirme.

Andrés Abella.
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