[Todos CMAT] SEMINARIO VIERNES 14H30

Juliana Xavier mariajules en gmail.com
Mie Jul 2 15:25:40 UYT 2014


Hola, todos!!
Este viernes habla Ezequiel Maderna, título y resumen abajo.

Nos vemos!!


"Configuraciones genéricas de Euler-Moulton"

En un artículo de 1910 publicado en el Annals of Mathematics R. Moulton
generalizó un teorema debido a Euler sobre el problema colineal de tres
cuerpos, al caso general de n cuerpos. Más precisamente, Euler encontró que
para cada ordenamiento de las masas en tres posiciones diferentes sobre una
recta, hay una única forma (es decir proporciones de las distancias entre
ellos) con la propiedad de admitir un movimiento homotético al estar
sometidas a fuerzas de atracción gravitatorias newtonianas. La proporción
entre dos de las tres distancias resulta ser la única raíz positiva de un
polinomio de grado 5 cuyos coeficientes son lineales en los valores de las
tres masas. La prueba de Moulton da la existencia de una única
configuración, módulo semejanzas, de n masas puntuales con esta propiedad
(también estudia en el mismo trabajo el problema inverso, a saber, si dada
una configuración es posible elegir los valores de las masas para que
admita soluciones homotéticas, pero no abordaremos este punto).

Mostraremos de manera muy simple, utilizando un método conocido propuesto
hace ya unos años por Yoccoz, y utilizando también el teorema de los
círculos de Gershgorin (el que enseñamos en los cursos de álgebra lineal)
el teorema de Moulton que asegura que existen n!/2 configuraciones
centrales colineales módulo semejanza, cualquiera sea el valor de las masas
positivas. Más aún, utilizando la analiticidad real del potencial
newtoniano, y el teorema original de Euler para tres cuerpos, probaremos
que dicho potencial es genéricamente una función de Morse; es decir que al
normalizar la homogeneidad del problema, nos encontramos con que, para un
abierto y denso de valores de las masas, el potencial tiene exactamente
n!/2 valores críticos correspondientes a puntos críticos no degenerados.

El resultado implica en particular que para masas genéricas hay una única
configuración central colineal mínima, y si el tiempo lo permite
explicaremos cómo se puede interpretar esto en términos de unicidad de
soluciones globales para la ecuación de Hamilton-Jacobi crítica de este
problema.

Este trabajo es en colaboración con nuestro amigo Renato Iturriaga (CIMAT)
http://arxiv.org/abs/1406.6887
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