[Todos CMAT] Materia optativa nivel A

[andres abella]

Este semestre voy a dictar un curso de álgebras de Lie. En el CMAT se han
dictado solo dos cursos de álgebras de Lie: uno en 2007 de nivel A' -
posgrado y otro en 2011 de nivel A. Mi idea es que este curso se mueva a un
nivel intermedio entre los dos anteriores.

 A continuación va una breve descripción del tema, programa y
prerrequisitos. En unos días mando otro mail para fijar una reunión para
armar los horarios de clase con quienes estén interesados.

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Álgebras de Lie


El origen de las álgebras de Lie radica en el trabajo de Sophus Lie (1842 -
1899) en el estudio de las acciones locales de ciertos grupos en
variedades. Lie observó que las acciones de estos grupos (llamados ahora
grupos de Lie) se podían entender mejor si se miraba primero la acción a
nivel del espacio tangente al grupo en la identidad. Este espacio tangente
es un espacio vectorial que tiene un producto que proviene de la estructura
de grupo y es lo que se llama actualmente un álgebra de Lie.

Si bien las álgebras de Lie son fundamentales para el estudio de los grupos
de Lie, con el tiempo la teoría se ha ido desarrollando en sí misma y se
aplica en varias áreas de física y de matemática (álgebra, geometría
algebraica, geometría diferencial, topología, teoría de representaciones,
etc).


El objetivo del curso es dar una introducción al tema, llegando a algunos
resultados básicos de la teoría (teoremas de Engel, Lie, Weyl) y estudiar
algunos ejemplos importantes. Lo que buscamos es dar una buena base teórica
y ver cómo se aplica esa teoría en algunos casos concretos.

Programa:


1. Definiciones básicas y ejemplos.
2. Álgebras solubles y nilpotentes.
3. Teoremas básicos (Engel, Lie, descomposición de Jordan, criterio de
Cartan).
4. Forma de Killing. Teorema de Weyl.
5. Representaciones de sl(2,K).
6. Álgebras tensorial, exterior y simétrica.
7. El álgebra envolvente.
5. Representaciones de sl(n,K).

Del programa anterior, la parte medular son los puntos 1 - 5. De ahí en
delante la idea es adaptar el curso a los intereses de los alumnos y llegar
hasta donde se pueda.

Prerrequisitos:

tener aprobado el examen de Álgebra Lineal 2 y el curso de Álgebra 1.



A pesar de lo dicho en la introducción, nuestro enfoque será completamente
algebraico y no será necesario tener conocimientos de geometría diferencial
para seguir el curso. Lo que más utilizaremos es álgebra lineal
(diagonalización, forma de Jordan, formas bilineales), pero muchos
conceptos son análogos a los de anillos y módulos por lo cual los veremos
muy rápidamente y es necesario haberlos visto en álgebra 1 para poderlos
entender.


La bibliografía base es:

"Introduction to Lie algebras and Representation Theory", J. E. Humphreys,
Ed. Springer-Verlag.

Otras referencias:

"Introduction to Lie Algebras", K. Erdmann y M. J. Wildon, Ed. Springer.
"Representation theory", W. Fulton y J. Harris, Ed. Springer-Verlag.
"Lie algebras and Lie groups", J-P. Serre, Ed. Benjamin.

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Por cualquier aclaración o pregunta no duden en escribirme.


                                Andrés Abella.

Saludos,
Andrés.
------------ próxima parte ------------
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