[Todos CMAT] Seminario General de Álgebra-charla de 18 de noviembre

[Mariana Haim]

*Fecha:* martes 18 de noviembre, de 14:30 a 16

*Lugar:* Centro de Matemática, piso 15.

*Expositor:* Bojana Femíc, Instituto de Matematicas de la Academia Serbia de
Ciencias y Artes, Belgrado (Serbia)

*Título:* Coanillos de Azumaya, grupos de cohomología y objetos Galois sobre
bialgebroides conmutativos

*Resumen:*
Sea $R$ un anillo conmutativo. Si $R$ es un cuerpo, el grupo de Brauer de
$R$ se puede describir completamente usando la cohomologia de Galois. Sobre
un anillo
conmutativo, la cohomologia de Galois describe al grupo de Brauer solo
parcialmente - en este caso tenemos que considerar cohomologías más
generales, como la de Amitsur
o cohomología étale. Resultados clásicos son los siguentes:Sea $S$ una
extensión de $R$ conmutativa y fielmente plana. Entonces tenemos la
inmersión canónica
$$\Br(S/R)\to H^1(S/R, \dul{\Pic}),$$, donde $\Br(S/R)$ es la parte del
grupo de Brauer de $R$ escindida por $S$, y $H^1(S/R, \dul{\Pic})$ es el
primer grupo de cohomología de Amitsur con valores en la categoría de
módulos invertibles, como introdujeron Villamayor y Zelinsky. Esta inmersión
es un isomorfismo si $S$ es finitamente generado y proyectivo como
$R$-módulo.
Como consecuencia tenemos la inmersión del grupo de Brauer total en el
segundo grupo de cohomología $H^2(R,\GG_m)$. Esta inmersión no es
sobreyectiva,
porque el grupo de Brauer es un grupo de torsión mientras que el segundo
grupo de cohomología no lo es en general. Un resultado famoso de Gabber
afirma que el grupo de Brauer
es precisamente la parte de torsión del segundo grupo de cohomología.
En esta charla proponemos una definición alternativa al grupo de Brauer y
mostramos que ese nuevo grupo de Brauer es isomorfo al segundo grupo de
cohomologia
total. Los elementos de este grupo de Brauer son representados por coanillos
de Azumaya sobre extensiones $S$ de $R$ fielmente planas, que se ponen
isomorfas al coanillo
canónico despues de la extensión por la base fielmente plana. Un coanillo
así se llama un $S/R$-coanillo de Azumaya. Introducimos una relación de
equivalencia sobre el conjunto
de clases de isomorfismo de coanillos de Azumaya, y el cociente forma un
monoide bajo la operacion inducida por le producto tensor. Este monoide
denotamos por $\Bc(R)$.
Entonces probamos que $$\Bc(S/R)\cong H^1(S/R, \dul{\Pic}),$$ lo que implica
fácilmente que $$\Bc(R)\cong H^2(R,\GG_m).$$


El isomorfismo con el primer grupo de cohomología de arriba permite al grupo
$\Bc(S/R)$  encajar en la sucesión exacta infinita de Villamayor-Zelinsky.
El morfismo
que termina en él tiene una formulación mucho más clara que el morfismo
correspondiente en la sucesión original. No obstante, observamos que el
dicho morfsimo se puede
formular en términos de una estructura más rica que la de coanillo. Esto nos
lleva a trabajar con algebroides conmutativos y a introducir una cohomología
sobre ellos, a la que
llamamos cohomología de Harrison. Construimos una sucesión exacta infinita a
la Villamayor-Zelinsky con respeto a esa cohomología.

En vez de un "grupo de Brauer de algebroides" en el lugar correspondiente en
la nueva sucesión descubrimos el grupo de coobjetos de Galois sobre un
algebroide de Hopf.
Además, observamos que en esa sucesión exacta infinita podemos interpretar
periódicamente ciertos grupos de cohomología.

Este es un trabajo conjunto con Stefaan Caenepeel, de la Universidad Libre
de Bruselas (VUB).
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