[EstudiantesMatemática]Seminario de Sistemas Dinámicos - Alejandro Passeggi (CMAT)

[seminarios en cmat.edu.uy]

Seminario de Sistemas Dinámicos
--------------------------------

Título: "Un paseo crítico por la teoría de las ecuaciones diferenciales, y algunos resultados recientes"

Expositor: Alejandro Passeggi (CMAT)

Resumen:
 
El viernes vamos a comentar la siguiente historia de las ecuaciones
diferenciales (ver abajo o [1]) y así motivar trabajos recientes. Estos últimos
permiten, en sus primeras implementaciones pruebas asistidas por computadora de
la existencia de caos para mapas del anillo en amplias familias analíticas. Se
espera que puedan ser aplicados sistemáticamente, en particular en mapas que
surgen en distintas ciencias, los cuales en bajos grados de libertad suelen
tener un mapa discreto del anillo como sección de retorno. La idea es hacer una
charla amplia, no necesariamente para especialistas del área.   [1]
http://www.scholarpedia.org/article/History_of_dynamical_systems

Breve Historia

Las ecuaciones diferenciales relevantes hasta el siglo 20 surgen de la mecánica
Hamiltoniana, es decir, aquellas que admiten potenciales, y por lo tanto
conservan la energía mecánica. Aunque las soluciones explícitas se fueron
complicando, como sucede al intentar resolver la ecuación del péndulo simple o
el problema de Kepler en donde aparece la necesidad de utilizar primitivas que
no son usuales (funciones elípticas en dichos casos), nuestros ancestros
matemáticos se las fueron ingeniando para aumentar la lista de funciones
concebidas y tomar sus versiones analíticas forma parte del inicio de la teoría
de superficies de Riemann. Otro aspecto algebraico importante que apareció a
finales del siglo 19, hoy se conoce como el Teorema de Arnold-Liouville: Si
encontramos suficientes cantidades conservadas "independientes", entonces con un
cambio de coordenadas veremos que las soluciones de nuestra ecuación diferencial
viven genéricamente en toros y son flujos lineales en ellos, y fuera de ellos
habrán singularidades y posibles conexiones entre ellas: un ejemplo simple pero
muy importante de esto el caso del flujo asociado al péndulo físico. Las
cantidades conservadas forman un álgebra de Poisson, y los toros surgen de
intersectar las curvas de nivel de las distintas funciones. Esta nueva victoria
Algebraica, llevó la idea de que el problema de entender las ecuaciones
diferenciales Hamiltonianas se había acabado. Sin embargo, a finales de siglo 19
y principios del 20, el problema de los 3-cuerpos no se dejaba dominar por este
método, faltaban cantidades conservadas. Entra aquí Poincaré, quien de hecho
"prueba" que no podrán existir suficientes cantidades conservadas, pero más
importante que esto, es que da cuenta del fenómeno que lo prohíbe:
Intersecciones entre variedades estables en inestables de un mismo punto silla
para un mapa discreto en un cilindro, que surge como mapa de retorno de la
ecuación diferencial en cuestión. A su vez, en aquellos años las ecuaciones
diferenciales no Hamiltonianas cobraron importancia a partir de circuitos
eléctricos que irrumpieron, como el famoso circuito de Van der Pol (primer
intento de modelar el corazón como un c.e.), y nuevamente, por ser una e.d.o. de
orden 2, periódicamente forzada, admite un mapa de retorno en un plano, que es
un cilindro si removemos el origen. Poincaré entiende que la teoría de
ecuaciones diferencial debe admitir estudios cualitativos, ya que no tiene
sentido seguir extendiendo la lista de fórmulas, y que aunque lo hiciéramos, no
nos darían información relevante, y dedica sus últimos trabajos en matemática a
estudiar mapas del anillo con condiciones "twist", ya que los mapas que
provienen de e.d. suelen tener tal condición. Esto lo continúa Birkhoff, y se
abre una teoría, que son los sistemas dinámicos de superficies. Por supuesto,
una pregunta central durante el desarrollo de esta área fue, y es, decidir si
una dinámica dada es caótica o no, tanto en el mundo conservativo (Hamiltoniano)
como disipativo (ecuaciones tipo Van der Pol).

Decidir si un mapa del anillo es caótico o no ha sido un problema central en los
sistemas dinámicos desde entonces, y aunque se llenó de modelos matemáticos para
el caos, la teoría falla en decidir formalmente su existencia. Si nos vienen con
un mapa dado desde otra ciencia (está repleto de casos), la prueba rigurosa de
la existencia de caos es hoy casi imposible. Por otro lado, está lleno de
resultados numéricos que dan "evidencia" echando mano al concepto de exponente
de Lyapunov estimados numéricamente, y luego suelen cometer la imprudencia de
confundir al lector con que hay una prueba formal detrás de todo eso, como
sucede por ejemplo en el caso del péndulo doble. Del lado matemático, ante no
poder decidir cuándo un mapa es caótico o no, se ha tomado por muchos autores el
punto de vista genérico, donde para el caso conservativo se tiene la existencia
genérica de caos. De cualquier modo, esto deja afuera las familias que puedan
surgir en aplicaciones. Por último, existen honorables trabajos donde intentan
probar caos formalmente para mapas del anillo, y es increíble ver lo difícil que
resulta, y lo pobre que son los resultados, en el sentido de que se deben hacer
restricciones infames de los parámetros para que los métodos utilizados
funcionen.

En base a esta breve historia, queremos discutir avances en la pregunta, ¿es
este mapa caótico?
--------------------------------------------------------------------------------
Viernes 31/5 a las 14:30, Salón de seminarios del IMERL

Contacto: Santiago Martinchich - Luis Pedro Piñeyrúa - santiago.martinchich en fcea.edu.uy - lpineyrua en fing.edu.uy
--------------------------------------------------------------------------------
El   seminario   será transmitido por el siguiente link si alguien   manifiesta
interés de que así ocurra hasta el día antes del   seminario  :    https
://salavirtual-udelar.zoom.us/j/83020032334?pwd=djAxdmg2K3NDVEU0V3RZSXkxNW8xUT09
--------------------------------------------------------------------------------
Más seminarios en: http://www.cmat.edu.uy/seminarios
------------ próxima parte ------------
Se ha borrado un adjunto en formato HTML...
URL: <http://listas.cmat.edu.uy/pipermail/listaestudiantes/attachments/20240528/706f855d/attachment.html>