[EstudiantesMatemática]charla de análisis no estándar mañana miércoles

[Mauricio Guillermo]

Estudiantes,

El miércoles pasado se suspendió la charla de análisis no estándar a  
cargo del prof. Miquel. Como estaba previsto, tendrá lugar mañana a  
las 14.00 hs en el salón de seminarios del piso 14 del CMAT. Este  
mensaje es para recordarlo.

Saludos cordiales,

MAURICIO.

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RESUMEN:

Introducción al Análisis no estándar

Al comienzo del Análisis, Leibniz definía la continuidad y la
derivabilidad de funciones utilizando números infinitesimales, que él
construía a partir de un número natural "más grande que todos los
números usuales". Desgraciadamente, la teoría de Leibniz no tenía
fundamentos lógicos sólidos (aunque permitiera hacer cálculos
correctos) y es la razón por la cual los matemáticos renunciaron a la
noción de número infinitesimal cuando establecieron la fundaciones
modernas del Análisis (con "épsilon-delta").

En los años 1960, el matemático Abraham Robinson descubrió que los
infinitesimales de Leibniz se pueden formalizar rigurosamente,
introduciendo un nuevo cuerpo, el cuerpo *R de los números
hiperreales, que extiende el cuerpo R de los números reales usuales
(ahora llamados los reales estándar) con nuevos números, llamados
los números reales no estándar. El interés de dicha construcción es
que el cuerpo *R de los números hiperreales naturalmente contiene
elementos infinitamente grandes y otros infinitamente pequeños, que se
pueden utilizar para razonar sobre las funciones a la manera de
Leibniz. Además, la construcción de Robinson es muy general, y se
puede aplicar también para definir los números hiper-naturales,
hiper-enteros, hiper-racionales o hiper-complejos.

En mi charla, voy a presentar la construcción de la hiper-extensión *A
de un conjunto A cualquiera, y voy a mostrar que esta construcción
mantiene la estructura algebraica de A, de tal modo que si A es un
grupo, un anillo, un cuerpo, etc., entonces su hiper-extensión *A
también es un grupo, un anillo, un cuerpo, etc.  Considerando el caso
particular del cuerpo *R de los números hiperreales, voy a mostrar que
este cuerpo contiene elementos infinitesimales que se pueden utilizar
para demostrar propiedades de continuidad y de derivabilidad a la
manera de Leibniz (pero con fundamentos rigurosos).  Finalmente,
explicaré en cual sentido la construcción de Robinson mantiene "todas
la propiedades" del conjunto de partida, introduciendo un esbozo de
teoría de modelos y de lenguajes del primer orden.

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