[EstudiantesMatemática] Una buena nota

[Nicolás Frevenza]

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 |  Miércoles,
27 de octubre de 2010
Entrevista al matemático Gregory Chaitin Sobre la filosofía de las
matemáticas Gregory Chaitin nació en los EE.UU., pero estudió en la
Argentina. El jinete hipotético tuvo una charla con él sobre la filosofía de
las matemáticas. Sepa el lector que deberá forzar su atención para
comprender cosas que parecen abstrusas pero que en realidad no lo son.
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 *Por Leonardo Moledo*

*–No hablemos tanto del número omega, que ya está en todos lados, sino de
sus posturas filosóficas sobre la matemática. Usted tiene una postura...*

–Cuasi empírica, diría.

*–¿Y en qué consiste una postura cuasi empírica en matemática?*

–Mi enfoque es desde el punto de vista de la teoría de la información. Para
mí una teoría (tanto física como matemática) lo que hace es comprimir.
Comprender es comprimir. Lo que hace es comprimir hechos experimentales en
una estructura más simple que los explica a todos. En el caso de la
matemática es parecido: en este caso no son hechos experimentales lo que
explicamos, sino hechos numéricos, y no son ecuaciones matemáticas, sino que
son los axiomas de la matemática. Me parece que en ambos casos lo que hace
una teoría es organizar lo que vemos en una estructura que lo hace más
comprensible y nos ayuda a predecir lo que va a pasar si hacemos otros
cálculos u otros experimentos. En ambos casos estoy pensando en la teoría
como software, como algoritmo: en el caso de la física es un algoritmo para
calcular hechos experimentales; en el caso de la matemática es más bien
deducir mecánicamente consecuencias que son las consecuencias lógicas de los
primeros principios. Desde este punto de vista, las dos cosas no son
demasiado diferentes. Yo no veo una ruptura tan enorme entre la física y la
matemática. De un lado se insiste en que las demostraciones rigurosas son
una necesidad imperiosa y del otro lado el físico se contenta a veces con
argumentaciones heurísticas: el físico no dice que la ecuación de
Schröedinger es evidente de por sí, pero desde la matemática se insiste en
que un axioma debe ser evidente de por sí. En fin: no digo que la matemática
y la física son idénticas, porque eso es falso, pero creo que habría que
conceder que tienen un grado de parentesco más grande que lo que se admite
habitualmente.

*–Uno puede pensar la física como estructura axiomática, también. Los
Principia de Newton son una estructura axiomática: se parte de ahí y opera
todo como un sistema formal.*

–Hasta cierto punto, porque las demostraciones que utilizan los físicos no
satisfacen del todo a los matemáticos.

*–Bueno, porque nadie se pone a hacerlas rigurosas, pero si alguien
quisiera...*

–¿Usted cree que se puede?

*–Creo que la creencia de todo físico es que todo aquello que es
matemáticamente deductible es físicamente real. ¿Usted estaría tomando el
sistema axiomático como una empiria?*

–Tomemos el famoso resultado de Gödel de 1931. ¿Hay que tomarlo en serio o
no? La mayoría de los matemáticos dicen que no hay que tomarlo en serio. Yo
no lo sé, pero decidí dedicar mi vida a jugar con la posibilidad de que el
resultado de Gödel es serio. Si se toma demasiado en serio, no existe la
prueba: trabajé durante tres días tratando de demostrar algo, no lo pude
hacer, entonces lo propongo como un nuevo postulado. Un matemático diría que
es ridículo, pero esa sería una actitud extrema provocada por Gödel. Yo no
quiero eso. A mí me parece que la física y la matemática, en lugar de estar
tan separadas, deberían entrar en un continuo donde se amalgamen la
rigurosidad demostrativa de la matemática y las argumentaciones heurísticas
de la física. No hay que construir una pared infranqueable...

*–Es que no la hay.*

–Bueno, y sin embargo en una revista de matemática no se puede publicar un
argumento que andaría muy bien en una revista de física.

*–El físico lo que sí hace es, después de un proceso de deducción, ir a la
realidad y medir.*

–El matemático también lo puede hacer. Por ejemplo: la hipótesis de Riemann,
cuya consecuencia es que los números primos se tienen que distribuir de
determinada manera. Uno se puede poner a hacer un cálculo monstruoso para
ver si efectivamente los primos se distribuyen de esa manera.

*–O ver cómo se distribuyen los números primos realmente.*

–Sí. En teoría de números se trabaja de una forma cuasi empírica. Porque
muchas veces mediante muchos cálculos se ven muchos casos y la gente
conjetura algo que después se tarda centenares de años en demostrar.

*–La conjetura de Goldbach...*

–Claro. En ese campo en particular, la brecha entre lo que se cree cierto en
base a cálculos y lo que se puede demostrar es enorme.

*–Pero uno no puede construir una teoría matemática sobre la conjetura de
Goldbach.*

–Bueno, fíjese lo que pasa aquí. Hay una conjetura que se llama P no igual
NP. Y otra conjetura que dice que factorizar números grandes requiere un
tiempo de cómputo monstruoso, que es la base de muchos sistemas secretos. La
gente en teoría de la computación no se puede detener porque no logra
demostrar algunas cosas fundamentales: toda la comunidad cree en ciertos
resultados y ellos siguen adelante.

*–En cierta forma se puede decir que pasó lo mismo con el análisis hasta la
llegada de Cauchy.*

–Bueno, fue no riguroso.

*–Claro. Cuando Berkeley decía que no tenía ningún sentido, tenía razón.*

–El insistir en el rigor matemático a veces destroza un campo. Especialmente
cuando ese campo es nuevo, y las ideas se están explorando. Una vez que la
parte creativa terminó, entonces llegan los “abogados”, los matemáticos que
quieren pulir todo y dejar una forma axiomática cerrada. Pero la parte
creativa no se hace así.

*–No se olvide que, también, por el problema de la falta de rigor Cauchy
confundió dos conceptos de continuidad que crearon un lío espantoso.*

–Sí, es cierto. Hoy en día está de moda decir que la matemática es un
sistema riguroso formal axiomático “a la Hilbert” y que el rigor es lo más
importante. El método axiomático, desde esta perspectiva, es la matemática.
Pero hay otros que dicen que el método axiomático es un cementerio para las
ideas. Una vez que todo está en un sistema axiomático formal, el trabajo
creativo se acabó. Creo que la escuela Bourbaki exageró muchísimo. Yo creo
que el teorema de Gödel apoya para decir que Bourbaki exageró: es decir, hay
una parte irreductible que es creativa dentro de la matemática, lo cual
significa que su realidad no es blanca o negra como se pensaba. Es posible
que se produzca una ruptura, que dos escuelas diferentes crean en primeros
postulados que sean incompatibles entre sí...

*–Bueno, durante bastante tiempo los resultados de Cantor no fueron
aceptados hasta que Hilbert intervino...*

–El problema es que esos resultados todavía son paradójicos y
contradictorios. Ese campo es muy peligroso porque se producen paradojas muy
fácilmente. Yo no soy especialista en nada de eso. Yo creo que hubiese sido
muy lindo si Hilbert hubiese tenido razón...

*–Hubiese sido muy aburrido...*

–Bueno, estamos de acuerdo. Hubiese sido un sistema cerrado, mecánico, y eso
no es cierto. La matemática tiene una parte creativa irreductible. Yo creo
que Gödel hace eso: nos da libertad creativa a los matemáticos. Y no debemos
desechar esta creatividad.

*–Hay dos formas de entender la creatividad. Una es pensarla como que no hay
una cadena lógica y es necesario adivinar un axioma. La otra es pensar que
la creatividad viene de comprimir una cadena lógica muy larga con una nueva
idea.*

–Gödel decía que una razón pragmática para adoptar un nuevo principio es que
achica demostraciones de cosas que uno ya pudo demostrar. Los teóricos de la
teoría de conjuntos han agregado axiomas nuevos, como por ejemplo el
“proyective determinacy”. Los matemáticos más agudos del mundo están
convencidos de que estos principios faltaban en los axiomas, pero hicieron
falta treinta años de trabajo para descubrirlos.

*–¿La matemática está en un atolladero?*

–Creo que hay algunos problemas: demasiado formalismo, por ejemplo, lo cual
puede producir miedo en los estudiantes. Yo creo que la matemática es como
la literatura: los conceptos y las teorías importantes tienen que enseñarse
como literatura, explicando de dónde vienen y por qué sirven. Y eso se
considera un crimen en la matemática actual.

*–¿Existen en el mundo los objetos matemáticos?*

–La física matemática trabaja como si la realidad última del universo fuera
matemática. Si este punto de vista tuviera razón, el mundo sería matemático.
Yo no sé si esto es así, pero lo que sí creo es que sin teorías no se llega
a ningún lado. Y una teoría es un salto de imaginación: las cosas tal como
se ven no son la verdad, la verdad está más allá. Como dice Novalis: las
teorías son como redes, si uno no las lanza no pesca nada. Einstein dice que
cada físico teórico bueno es un metafísico reformado: alguien que cree que
el mundo se puede comprender por pensamiento puro.

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